Puzzles & casse-tête en bois gratuits à fabriquer, construire soi-même

Symétrie et identité sont des notions simples et possèdent des propriétés complexes et même quelque fois contre-intuitive.

De plus elles concernent deux domaines qui nous sont communs et intuitifs: la géométrie dans le plan en 2D et l'espace en 3D.

Il existe des théories en physique qui demandent des espaces à plus de 3 dimensions et donc, il existent des géométries avec un nombre quelconque de dimensions qui n' ont pas de représentation concrètes pour la plus-part d'entre nous.

 

 

Après avoir rencontré un large public, depuis des élèves de collège jusqu'à des polytechniciens diplômés voire des chercheurs en mathématiques, je suis surpris de constater que les casse-têtes les plus simples posent parfois de grandes difficultés à la majorité!

 

Il devient inutile de présenter les plus complexes qui me demandent d'avoir une anti-sèche sur moi pour retrouver leur solution.

J'en emmène quand même toujours au moins un, histoire de bluffer un éventuel hyper spécialiste .

 

Par contre pour une prise de contact avec un public de passants qui s'arrêtent au hasard, j'ai mis au point une présentation qui utilise des casse-tête avec un minimum de pièces; 2, 1 voire 0...

 

l'exemple le plus criant est le tétraèdre:

 

Le tétraèdre est un puzzle à seulement deux pièces identiques. Il est tellement simple qu'on peut le croire sans intérêt, donc j'hésitais à le présenter et pourtant chaque fois que je le montre à un public non averti il pose des problèmes à ceux qui sans le connaitre, pensent le résoudre facilement.

Le temps maximum observé est de 20mn ce qui démontre la force de l'habitude. Le temps moyen tourne autour de 2 à 3mn ce qui est très étonnant en regard de sa simplicité.

Du coup pour agacer encore plus le public je l'ai baptisé "le casse-tête pour blonde de quatre ans" en rajoutant que: " moins de deux pièces c'est une seule et qu'une seule pièce, ce n'est plus un casse-tête!". Ce qui n'est pas tout à fait exact comme on va le constater plus loin!

Bien sûr certains vont le trouver en moins de dix secondes mais la grande majorité des gents commencent par douter de la possibilité d'une solution et ne trouve la solution qu'en plusieurs minutes qui leur semblent interminables et après des tentatives qui apparaissent comme de plus en plus vaines, comme dans la vidéo de mon pote Francis.

 

 Pourquoi un casse-tête aussi trivial pose tant de difficultés à la plus-part des gents?

 

Même à des prétendus experts de domaines voisins comme la magie, l'escape gamme, et les jeux de réflexion qui pour 1000 $ peinent à trouver les solutions en moins de 6 minutes pour 3 casse-tête des plus classiques.

C'est parce que notre cerveau est habitué à rechercher des symétries surtout lorsque deux pièces absolument  identiques doivent s'assembler. Cette habitude contrarie la réflexion pour la recherche de la solution qui, justement, n'est pas symétrique. L'énervement et la contrariété envahissent rapidement le cobaye qui sent le ridicule monter en lui, et la honte de ne pas trouver alors qu'un enfant dont le cerveau est moins formé (ou plutôt déformé) arrive généralement plus rapidement à découvrir cette solution.

 

Une symétrie axiale gauche/droite nous permet d'envisager de n'étudier que la moitié des solutions et une symétrie centrale gauche/droite plus haut/ bas  qu'un quart des possibilités, ce qui est une grande économie de matière grise ou d'essais bruts. Notre cerveau aime bien ne pas se fatiguer et cherche systématiquement l'économie d'effort. Si vous cherchez dans la mauvaise catégorie pour ce casse-tête vous partez dans l'impasse et buttez sur une recherche avec une méthode inutile qui ne peut pas aboutir à la solution.

 

Du coup je me suis penché sur cette question:

les casse-tête à seulement deux pièces sont-ils plus faciles? La réponse c'est non!

peut-on faire un casse-tête à une seule pièce? Hé bien oui! Il y en a déjà sur ce blog

et sans pièce du tout? Encore oui! Mais évidemment ce n'était pas encore  sur le blog.

 

Les casse-tête à deux pièces

 

On pense immédiatement que les casse-tête à deux pièces sont de trois sortes:

A avec deux pièces identiques

B avec deux pièces symétriques dans un miroir

C sans symétrie

 

 

Avec aussi une exception particulière: L’étonnant puzzle fractal infini de von Koch, constitué deux pièces presque identiques mais homothétiques théoriques mathématiquement, mais irréalisables concrètement. Il fait parti des catégories A et B.

En fait pour la catégorie B je n'ai actuellement que des casse-tête constitués de deux moitiés symétriques dans un miroir, mais chaque moitié est en fait constituée de plusieurs pièces rigoureusement identiques, disposées symétriquement, preuve d'une propriété intrinsèque plus profonde, récursive et difficile à expliquer.

 

 

 

Les exemples de casse-têtes catégorie A pièces identiques:

Le tétraèdre deux pièces à assembler pour reconstituer un volume simple A

 

 

Loop La solution une fois connue est évidente mais les premiers essais sont contrariants avec 2 morceaux identiques loop à commander. A

 

 

Les arches comme l'Elke une histoire de chemin et de rotations dans l'espace avec 2 morceaux identiques mais avec un problème gauche droite, A

 

 

 

Le  cast diamond de chez Hanayama A

 

 

Le G&G également de chez Hanahyama presque A

 

 

Elke une solution plusieurs chemins de sorties dont un seul permet de séparer les 2 pièces par rotations successives à commander presque A

 

 

 

Les exemples de casse-têtes catégorie B.

 

Ils finissent par l'assemblage de deux moitiés symétriques, mais sont constitués de pièces identiques dont le dernier mouvement est soit un glissement G soit une rotation R:

 

 

 

Le scorpius G

 

 

 

La cage R

 

 

 

le saturne G

 

 

 

Le cluster G

 

 

 

 

 

 

Les exemples de casse-têtes catégorie C sans symétrie:

 

Les cerises va contrarier ceux qui raisonnent à plat et pas dans l'espace C

 

 

 

Amusant idée-choc un faux problème d'optique mais un vrai problème de symétrie haut bas C

 

 

Sans toucher la première réaction c'est de dire que "ce n'est pas possible!" il faut mettre son cerveau et son imagination en action C

 

 

Symetrick pour moi le plus difficile il m'a imposé plusieurs heures sur 2 jours et une nuit de réflexion toujours sur la symétrie C

 

 

le carré dans un sac le plus facile pour les couturières C

 

 

 

Le tord poignet Un jeu de société avec un minimum de matériel C

 

 

les casse-tête à une seule pièce:

 

la flèche versatile une difficulté d'interprétation de notre cerveau qui peine à interpréter des rotations successives selon deux axes dans l'espace

 

 

l’anagyre un mélange de problème gauche / droite et de rotation

 

 

 

la tresse tresser et défaire. Moins simple qu'il n'y parait mais un casse-tête  avec des retournements par rotation des extrémités

 

Plus surprenant les problèmes sans aucune pièce:

Mais comment présenter un casse-tête sans pièce?

Par la seule force de la pensée...avec un discours ou une présentation avec mon corps comme dans la vidéo du paragraphe sur le paradoxe de Codman ci-dessous, rien dans les mains rien dans les poches...

 

 

-La symétrie est une notion simple, mais moins qu'il n'y parait!

En effet quand on pose la question: "c'est quoi une symétrie?" les élèves du collège répondent: "c'est la même chose en pas pareil"

Une définition qui démontre le manque de vocabulaire pour la définir. D'abord il n'y a pas une symétrie, mais des symétries.

Pourtant cette définition possède une part de vérité car "la même chose en pas pareil " c'est une presque identité qui justement se différencie d'un symétrique selon une des quatre symétries de réflexion...

 

1) il y a la symétrie dans un plan par rapport à un point du plan

2) Il y a la symétrie dans un plan par rapport à une droite du plan

celles que l'on apprend en classe au collège.

 

Mais aussi la symétrie

3) dans l'espace à 3 dimensions par rapport à un point de cet espace

4) ou dans l'espace par rapport à un plan de l'espace.

Elles arrivent plus tard et sont enseignées par des professeurs du lycée qui font eux aussi des confusions entre elles.

 

 

ça nous fait 4 symétries de réflexion qui ne sont pas définies par des mots précis mais par des périphrases comme ci-dessus! ce déficit de vocabulaire entraine donc des imprécisions et des incompréhensions. Nous connaissons mal les propriétés profondes de chacune de ces symétries.

 

Chacun projette ce qu'il veut bien entendre sous le terme "la symétrie".

 

D'ailleurs qu'est-ce qu'une symétrie dans l'espace par rapport à une droite?

Hé bien ça n'a pas de sens, car il n'est pas possible de décrire une telle "construction". 

 

 

 

 

Les  translations et rotations sont deux autres classes à part!

 

 

Une dernière classe de symétrie qui est souvent oubliée sont les symétries que les élèves appellent les "dilatations" ou les "compressions" qui sont regroupées dans ce qu'il faut appeler les homothéties, une notion pour les cours de troisième pour un plan puis plus tard dans l'espace.

 

Un exemple d'utilisation de l'homothétie pour faire une quadrature  du cercle.

On conserve les formes mais pas les dimensions.

Il semble que l'on peut donc exprimer un développement de Pi avec des nombres réels sous forme de fractions, étonnant !

En fait on constate rapidement que l'on va calculer les surfaces avec une référence circulaire qui utilise le nombre Pi.

Les homothéties sont un cas proche des symétries mais ne conservant pas les dimensions elles en sont généralement exclues, sauf pour une homothétie de rapport 1, qui est en fait équivalente à une symétrie par rapport à un point dans un plan ou dans l'espace.

 

Nous avons donc 4 classes de symétries qui de plus peuvent se combiner entre elles.

 

Quelles sont les différences de propriétés de chacune?

 

D'ailleurs même le vocabulaire spécialisé fait des différences pour une même propriété selon la spécialité, exemple: 

les mots énantiomorphe et chiral l'un pour les matheux et l'autre pour les chimistes pour expliquer qu'une main gauche est symétrique d'une main droite et pourtant non superposable donc différente de la droite.

 

les propriétés des symétries de rotation et translation ont elles aussi des propriétés particulières que nous pensons simples et qui pourtant peuvent nous troubler, exemple la flèche versatile, une combinaison de rotations.

 

 

Premier cas de casse-tête sans aucune pièce

 

Nous avons tous une pratique quotidienne de la symétrie dans l'espace par rapport à un plan avec l'observation de notre reflet dans un miroir.

l'expérience la plus probante dans cette situation est la réponse à cette question: "quel bras tend notre reflet si on tend le bras gauche?"

Tous admettent que si l'on tend le bras gauche notre reflet lui tend son bras droit et réciproquement. Donc nous affirmons qu'un miroir inverse la gauche et la droite, alors qu'il inverse aussi l'avant et l'arrière, mais sans inverser le haut et le bas.

 

Si l'on pose ensuite la question: "est-ce que le même un miroir plan peut inverser le haut et le bas"? Presque tous répondent "non".

 

Pourtant si par la pensée vous placez le miroir sur le sol ou au plafond chacun admet, après un moment de réflexion, que le reflet se présente avec les pieds en l'air et la tête en bas.

si on pose une nouvelle fois la question: "quel bras est tendu par ce reflet qui a la tête en bas si je tend le bras gauche?"

les réponses sont alors partagées, certains disent le gauche d'autre le bras droit. Ce qui démontre l'inaptitude à reconnaitre les propriétés intrinsèques de cette symétrie dont on a une expérience quotidienne, mais toujours contre un mur. Le changement de situation a créer le doute et la confusion.

 

La bonne réponse; mon reflet dans un miroir posé au sol, tend lui aussi, le bras droit si je tend le bras gauche et réciproquement.

 

récapitulons:

- Un miroir inverse toujours la gauche et la droite.

- Il peut inverser le haut et le bas contrairement à un avis général mais seulement quand il est au sol ou au plafond, c'est à dire placé au dessus ou dessous de moi et perpendiculairement au plan de ma symétrie gauche/droite qui elle passe (heureusement fictivement)  dans l'axe de mon corps.

Personne ne se soucie de décrire les conséquences des propriétés avant arrière!

 

En fait il me semble plus exact de se représenter notre image dans un miroir comme le résultat d'un "retournement" qui globalement peut mieux se comprendre si on se le représente comme le retournement d'un gant ou une chaussette qui s'est retournée à l'envers après l'avoir retirée trop vite.

Cette image nous évoque bien des symétries dans les 3 axes de l'espace.

 

je vous laisse imaginer le texte à rédiger sur cette question difficile:

quelle est la direction du regard de mon reflet en fonction de la direction de mon propre regard dans la situation où mon reflet a la tête en bas?

Pensez à bien la définir, pour tous les cas, de symétrie et de direction.

 

Exemple d'une  vidéo qui explique une partie correctement mais qui continu d'affirmer qu'un miroir ne peut inverser le haut et le bas et donc qui affirme un grosse erreur.

 

Par contre, il existe un miroir plan, mais double, qui donne un reflet qui n'est pas inversé, donc votre reflet tend bien la main droite si vous tendez la vôtre on l'appelle le miroir fidèle.

 

Question un miroir fidèle inverse-t'il ou non le haut et le bas quand il est au sol et que l'on est au dessus?

Deuxième question sur le miroir fidèle quand il est au sol, quel est le bras de notre reflet qui est tendu quand on lève le bras gauche?

 

 D'ailleurs notre vision des reflets dans un miroir est-elle correcte? Ou le résultat d'une analyse du cerveau en fonction de nos expériences?

Pour vous mettre un doute dans vos réflexions visionnez cette vidéo:

 

Les explications sur ce mystère sont dans l'article sur les illusions d’optique. 

 

 

Deuxième cas de casse-tête sans aucune pièce

 

Un autre exemple de difficulté à comprendre et expliquer les rotations multiples dans l'espace:

Le paradoxe de Codman!

 

C'est un exemple de difficulté à expliquer la rotation de la main après des mouvements de l'épaule comme dans cette vidéo.

 

 

Les symétries sont d'ailleurs plus compliquées que celle de la seule géométrie. Elles ont des propriétés fondamentales pour l'ensemble de la physique elles concernent des notions qui peuvent paraitre simples et intuitives mais ont des conséquences complexes à appliquer.

Les notions conjointes et complémentaires d'énergie cinétique, potentielle et totale, de conservation d'énergie, de force et réaction, de translation et rotation, de temps, de champs et surtout de référentiel (en translation ou rotation), de champ ou force qu'elle soit électrique, magnétique, gravité, force nucléaire forte ou faible, etc...s'expliquent toutes à l'aulne de la  compréhension fondamentale des symétries qui nous semblent simples et évidentes mais qui ont des propriétés surprenantes après application et nous amènent à penser que la nature n'est pas aussi simple que ce que nous percevons. Toutes obéissent à des lois fondamentales déjà connues mais qu'il faut appliquer avec rigueur.

La physique est  truffées d’erreurs qui viennent des aprioris faux dans les raisonnements des chercheurs!

Un exemple célèbre celui d'Einstein qui affirmait: "Dieu ne joue pas aux dés" ce qui l'a obligé plusieurs fois à changer ses formules de la relativité en admettant son erreur en introduisant ou non, une constante cosmologique.

 

Comment comprendre des choses aussi complexes si déjà on ne connait pas bien les propriétés de la symétrie dans une glace que l'on pratique quotidiennement?

 

Quand à l'identité c'est apparemment encore plus simple.

Déjà au niveau du mot, l'identité est ce qui est propre à un individu! Pourtant deux personnes identiques génétiquement comme des jumeaux n'ont pas la même identité civile!

En mathématiques une identité est ce qui peut être confondue dans le sens d'égalité, mais avec en plus des notions précises et multiples, de quantité et de signe comme + ou -, gauche ou droite, nord ou sud, etc...

Il y a souvent des imprécisions de langage pour un mot qui ne prend pas le même sens pour l'auteur et l'auditeur.

 

Les assemblages de deux parties identiques ne sont généralement pas intuitifs!

exemples:

Loop La solution une fois connue est évidente mais les premiers essais sont contrariants avec 2 morceaux identiques loop à commander.

 

Les arches comme l'Elke une histoire de chemin et de rotations dans l'espace avec 2 morceaux identiques mais avec un problème gauche droite

 

Le  cast diamond de chez Hanayama

 

et les presque symétriques:

 

Elke une solution plusieurs chemins de sorties dont un seul permet de séparer les 2 pièces par rotations successives à commander

 

Symetrick pour moi un des plus difficiles il m'a imposé plusieurs heures sur 2 jours et une nuit de réflexion toujours en exploitant mes reflex sur la symétrie

  

Deux pièces identiques peuvent être le résultat d'une translation ou d'une rotation, de la première, dans le plan ou dans l'espace!

et donc il existe différentes types d'identité que l'on pense unique.

 

Le résultat d'une rotation conjuguée avec une translation se nomme une vis, une vis sans fin est identique à elle-même! Mais un repère peut vous montrer qu'elle avance quand elle tourne dans de la matière.

 

D'ailleurs on parle souvent du sens de rotation en le définissant selon deux possibilités:

"horaire" ou "dans les sens des aiguilles d'une montre", le contraire étant "dans le sens contraire des aiguilles"

Mais on dit aussi:

"sinistrogyre" ou "dextrogyre" dans le sens de sénestre gauche (et donc sinistre pour les présages des devins) ou dextre dans le sens de droite le coté le plus habile pour la main des droitiers majoritaires on ne sait pas pourquoi?

On dit aussi "lévogyres" pour ce qui fait tourner  le plan de polarisation de la lumière vers la gauche et son contraire reste dextrogyre.

On utilise aussi "trigonométrique" pour un mathématicien qui compte en radians positifs ou négatif.

Pour un champ magnétique (dont les lignes de force tournent mais restent fixes) On parle de pôle sud et nord. Pour lesquels le trièdre de votre main (gauche ou droite les deux règles existent) vous aide à retrouver le sens si vous prenez la bonne règle et attribuez les bonnes données à vos trois doigts que sont le pouce, l'index et le majeur pour le sens du courant (contraire au sens des électrons), le sens des forces dans l'espace et la direction du champ magnétique.

 

• pouce = champ (sens du flux magnétique) ${\displaystyle {\vec {B}}}$
• index = chemin (sens du mouvement, force qu'on applique) ${\displaystyle {\vec {F}}}$
• majeur = courant (sens du courant) ${\displaystyle {\vec {I}}}$

 

Donc une série de synonymes qui ne précisent en fait rien de plus ou rien d'autre que le domaine des sciences dans lequel votre interlocuteur travaille tout en laissant un doute à celui qui écoute quand il n'a pas les références communes du domaine de compétence de l'orateur.

 

D'ailleurs les coquilles des animaux vivants ont toujours le même sens, avec on le sait, des exceptions très rares comme pour les escargots.

Laquelle est la plus courante?

 

Les molécules produites par les animaux ou les végétaux du règne vivant sont toujours enroulées ou vissées dans le même sens comme l'ADN, à tel point que, par exemple les arômes artificiels qui contiennent les deux sens à parts égales dans la chimie artificielle, ne parfument que pour moitié. Car nos papilles ne détectent que celles qui tournent dans le seul sens que l'on peut détecter, le reste est tout simplement ignoré par nos sens et même notre système digestif.

 

Posez la question suivante: Dans quel sens tourne la terre?

 

On va vous dire à peu près tout et n'importe quoi parce que tout dépend de la position où l'on suppose que l'observateur est placé!

si vous regardez la terre du pôle sud elle tourne dans un sens si vous la regardez du pôle nord elle tourne dans l'autre sens.

Donc la terre tourne dans les deux sens...Incroyable!!

 

D'ailleurs les scientifiques affirment que si on pouvait converser avec un extraterrestre, il est impossible de lui transmettre par le seul langage oral et notre vocabulaire, une définition suffisamment précise, complète et aussi simple que notre notion de la gauche et la droite ou un sens de rotation. Il faut impérativement un dessin ou une représentation concrète dans un espace à 3 dimensions.

 

Et je n'ose aborder la  notion de spin pour un objet ponctuel sans dimensions!

 

Ou plus complexe le spin de l’électron.

 

Pour finir une vidéo sur  la supersymétrie avec des notions théoriques contraires entre mathématiciens et physiciens et pourtant indispensables et possibles pour un tas d'explications, mais non encore totalement démontrées.

 

Une série de vidéos de Marc Henneaux sur la symétrie et la gravitation

 

un exemple de puzzles symétriques à 3 et 2 pièces

 

Un casse-tête à 3 pièces qui m'a donné le plus de fil à "détordre" le Lucky Find.

Comme quoi finalement plus de pièces c'est quand même plus compliqué...

 

 

Personnellement j'ai travaillé sur une branche du domaine des casse-tête qui semble particulièrement simple ou commune, mais qui est justement négligée, mal comprise, et même mal enseignée: La symétrie!

 

 

 

Premièrement on devrait dire les symétries pour lesquelles j'ai déjà rédigé le présent article.

 

Généralement, je montre principalement comment construire la plus part des casse-tête. Quelques fois je montre aussi des casse-tête que je me procure parce que je ne peux pas les fabriquer pour des raisons diverses.

 

Par exemple une matière métallique que je ne peux mouler ou un casse-tête qu'il faut posséder pour comprendre un mécanisme caché avant de l'expliquer.

 

Les casse-tête que je présente demandent le plus souvent de connaitre la solution pour pouvoir les fabriquer.

 

Il y a de plus rares cas de casse-tête que l'on peut fabriquer sans connaitre la solution.

 

Justement les cas dans cette catégorie tombent également dans la catégorie des casse-tête symétriques. On Pourrait en déduire qu'ils vont être plus facile à résoudre, hors c'est justement le contraire! Ils sont presque systématiquement parmi les plus difficiles à résoudre.

 

Les exemples les plus criants sont:

 

YES,  Symmetrick, Lucky find, Identtrick.

 

Ce qui me conduit à penser et a affirmer que les plus grandes difficultés se cachent dans les problèmes les plus simples.

 

Faites aussi un tour sur l'article les pavages du plan et de l’espace. 

Les pavages utilisent des propriétés profondes des symétries et identités et ces deux articles se complètent pour innover et trouver de nouvelles méthodes de démonstrations qui ouvrent de nouvelles possibilités sur des sujets très anciens. 

 

Ces nouveautés conduisent les mathématiciens à construire une théorie des groupes sur les pavages.