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Les 3 cubes de Conway

 Les 3 cubes de Conway problème


John Horton CONWAY est un mathématicien de l'université de Princeton et surtout l'inventeur du  « jeu de la vie ».
Les trois découpages du cube sont d'une apparente simplicité et utilisent des pièces faciles à fabriquer (des cubes ou des parallélépipèdes réguliers).
Cette simplicité n'est qu'apparente puisque les solutions ne sont pas faciles à trouver par tâtonnements du fait que le petit nombre de forme de pièces limite certes le nombre de combinaisons mais pas la difficulté puisqu'en échange le nombre de placements possibles augmente ce qui agace rapidement.
Il faut pour résoudre ces problèmes baser son raisonnement sur les propriétés de parité et de symétrie.



 

 

Nombre et forme des pièces:

 
Cube 3x3x3
 
3 cubes unitaires
cube unitaire.png
 
 
et 6 carrés 2x2
volume 2x2.png
 
 


 

 

 

 

Cube 5x5x5 avec 5 cubes unitaires

 

 

 

5 cubes unitaires

cube unitaire.png

 

6 fois

volume 1x2x4.png




et 6 fois
volume 2x2x4.png


 

 

 

 

 

 

 

2° Cube 5x5x5 avec 3 volumes 1x3
 
 
3 fois
 
volume 1x3.png
 
 
13 fois
volume 1x2x4.png
 
 
 
solutions
 
Il faut pour résoudre ces problèmes baser son raisonnement sur les propriétés de parité et de symétrie.
 
Pour le cube 3x3x3
 
Il est donc à cotés impairs les carrés de 2x2x1 sont pairs sur deux axes et impairs sur le troisième,il faut donc compléter au moins deux fois avec un cube 1x1x1 ou un 2x2x1 sur la tranche ça c'est pour la parité.
La symétrie nous indique que ce raisonnement doit jouer dans les trois dimensions et sur chaque colonne ou rangée.
Comme nous n'avons que seulement trois cubes de 1 la logique nous indique que le meilleur placement de ces trois cubes de 1 se situe sur l'une des grandes diagonales du cube 3x3x3. Le reste est évident.
 
Le raisonnement est semblable pour les deux  autres cubes 5x5x5 avec des variantes plus ou moins complexes (voir croquis)
 

Le principe

position cubes.png

 

La solution et elle est unique représentée par niveau



solution 3x3x3.png


 

 

 

Cube 5x5x5 avec 5 cubes unitaires 1x1x1eux sur une diagonale
 
Les 5 cubes de 1x1x1 (en noir) sont situés sur une diagonale la solution est unique aussi. Les cinq niveaux:
 
 
Image11.png Image12.png Image13.png
 
 
 
Image14.png Image15.png






Cube 5x5x5 avec 3 fois 1x1x3
 
le principe
 

Image16.png
 

Les trois éléments de 1x1x3 se touchent pointe à pointe d 'un sommet à celui diamétralement opposé. Il y a plusieurs solutions en voici une

Image17.png Image18.png Image19.png Image20.png Image21.png







14/06/2008
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