Puzzles & casse-tête en bois gratuits à fabriquer, construire soi-même

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la quadrature d'une portion de cercle

 Trouver avec les seuls outils que sont la règle et le compas une transformation du cercle en carré est le graal de la géométrie.

 

A part cette exception qui s'apparente aux ambigrammes.

 

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Aujourd'hui on sait que ce n'est pas possible car il faudrait trouver une construction du nombre Pi  or le nombre Pi est transcendantal ce qui signifie (en simplifiant) qu'il n'est pas exprimable avec une combinaison finie de nombres rationnels.

 

Pourtant il semble possible d'approcher la quadrature du cercle avec les dissections de lunules ou croissants de cercle en figures parfaitement carrés ou en forme de croix grecques.

 

De telles transformations planes de fragments circulaires en carrés sont connues et continuent de troubler les cerveaux des mathématiciens (en herbe). C'est donc avec une pointe de jubilation que je vous propose les dissections suivantes extraites du livre les « inattendus mathématiques » de Jean-Paul Delahaye et particulièrement détaillées dans le livre de Greg Frederickson « Plane and Fancy ». Ces figures sont le résultat de recherches par les immenses spécialistes des dissections comme; Lindgren ou Dudeney après les travaux de Loyd's.

 

Tout d'abord il faut partir d'une grille de carrés (par exemple des carrés de 2*2 Cm ) puis à partir de ce fond fixer une feuille rigide de plastique transparent et tracer des arcs de cercles définis ainsi :

 


 

Leur rayon commun passe par la diagonale d'un rectangle de 2*10 carreaux (soit racine de 104 Cm).

Les centres des trois arcs de cercles sont alignés sur une même droite au milieu de deux parallèles qui sont séparées par 20 carreaux (donc 40 cm).

Les centres des ces arcs de cercles sur la ligne centrale sont séparés d'un intervalle de 4 carreaux.

 

Après avoir tracé trois arcs de cercles successifs on obtient deux croissants de lune.


Après avoir découpé les croissants de lune et les morceaux selon le tracé, voici les assemblages sur un fond de tapis de coupe avec des carreaux d'un centimètre. Les déformations en tonneau sont dues aux défauts d'optique de l'appareil photo et les joints ont été soulignés en noir pour une meilleure lisibilité des photos.

 

Pour le premier croissant de lune il existe une dissection en sept morceaux qui peut s'arranger en une croix grecque (la croix du pharmacien)

 



  (Nota il faut retourner la plus grande pièce)

 

ou en huit morceaux pour le deuxième croissant pour arriver à un carré.

 



 

(Nota il faut retourner 3 pièces)

 

Une troisième transformation est obtenue avec un croissant constitué de deux demi-cercles de rayon 10 carreaux (donc 20cm et tangents aux deux droites parallèles) et dont les centres sont séparés de 5 carreaux sur la droite centrale. Leur dissection en 7 morceaux permet de construire une autre croix grecque.

 

 

 

 (Nota il faut retourner 3 pièces)

 

Il existe une dissection à partir du même "patron" en carré en ajoutant deux coup de ciseaux supplémentaires selon les pointillés ce qui porte à dix le nombre de pièces, et qui donne ceci :

 

 

 

Le tracé n'est pas trop difficile mais les coupes sont délicates et un excellent exercice pour s'entraîner à la scie à chantourner le moindre défaut se traduit par un jour entre les pièces et il faut une grande régularité surtout dans les arcs de cercle qui doivent présenter un rayon particulièrement constant (ce qui peut être réalisé avec un axe fixe de rotation).

 

Pour les pièces réalisées sur les photos ci-dessus le meilleur résultat a été obtenu avec un support peu épais (film rhodoïd). Les contours sont tracés avec un compas à pointes sèches et marquage des parties rectilignes à la pointe à tracer puis coupe au cutter en suivant les sillons faits avec les pointes. On peut ensuite colorier à volonté.

 

Il reste une question (intéressante et difficile):

 

Ces dissections sont-elles minimales? C'est à dire construites avec le nombre minimal de morceaux.(sauf la dernière qui pour être minimale doit être réduite à 5 pièces en regroupant certains morceaux qui restent accolés). 

Un seul contre-exemple prouverai le contraire.


cet objet s'apparente aux dissections il en existe une quantité incroyable et certains auteurs les ont recensés dans des livres comme:

plane and fancy de Greg Frederickson ou Hinged Dissections: Swinging and Twisting

Ce dernier prenant en compte des contraintes supplémentaires comme les charnières ou le axes de retounement.

 

il y a d'autres dissections sur ce site:

la trisection du carré

Les dissections de lettres en carré 

les  dissections de volumes comme le fléxaèdre ou le cube étoilé

 

 



30/09/2009
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