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Le calcul mental est une discipline qui est petit à petit abandonnée dans l'enseignement général actuel!

Pourtant dans d'autres pays comme la Russie c'est une discipline qui a été enseignée à des élèves ordinaires et à un niveau particulièrement élevé comme l'illustre le tableau suivant du peintre russe  Nikolaï Bogdanov-Belski (1868—1945), réalisé en 1895.

Il représente la classe d'arithmétique, pendant la résolution d'un problème. L'instituteur est un personnage connu,  Sergueï Alexandrovitch Ratchinski  (1833—1902),  professeur à l'Université d'État de Moscou. Ratchinski est retourné dans son village natal pour y créer une école populaire. Il y a enseigné le calcul mental selon une méthode personnelle.

Bogdanov-Belski a été lui-même un élève de Ratchinski, il en a visiblement gardé un souvenir marquant.

On y ressent l'extrême concentration des élèves tout comme la bienveillance de leur enseignant.

le problème à résoudre mentalement écrit au tableau parait très complexe:    10² + 11² + 12² + 13² + 14²

                                                                                                                                               365

Un calcul brut semble difficile à conduire de tête cependant si on connait bien les carrés supérieurs à 10 on peut remarquer que:

  10²=100

+11²=121

+12²=144

total=365

 

puis que:

  13²=169

+14²=196

total=365

 

donc le numérateur c'est 2*365 et la solution 2

Une autre méthode en utilisant les identités remarquables 

(a+b)² = a² + 2ab + b²

(a-b)² = a² - 2ab +b²

donc (a+b)²+(a-b)²=2(a²+b²)

et le fait que 10=12-2 et 14=12+2   comme   11=12-1 et 13=12+1

avec  12²=144 et donc 5*144=720

Le numérateur peut se comprendre comme:

10² + 11² + 12² + 13² + 14² = (12 - 2)² + (12 - 1)² + 12² + (12 + 1)² + (12 + 2)²

${\displaystyle 10^{2}+11^{2}+12^{2}+13^{2}+14^{2}=(12-2)^{2}+(12-1)^{2}+12^{2}+(12+1)^{2}+(12+2)^{2}}$

  

donc on peut en déduire mentalement pour un calculateur même peu entrainé que les produits s'annulent deux à deux

(12² - 2*12*2 +2²) + (12² - 2*12*1 + 1²) + 12² + (12² + 2*12*1 + 2²) + (12² + 2*12*2 + 1²)

                  I                            I_______________________I                                 I

                  I________________________________ _______________________I

                                                             

et donc finalement en ne gardant que les carrés ce numérateur peut se décomposer mentalement comme

(12² + 2²) + (12² + 1²) + 12² + (12² + 1²) + (12² + 2²) = (5*12²)+ (4 + 1 + 1 + 4) = 720 + 10 = 2*365

 

Le résultat est donc "aussi tout simplement"  2

      

Tous mes remerciements à François Lavallou qui m'a fait connaître ce tableau à l'occasion du salon des jeux mathématiques de 2017.