calcul mental
Le calcul mental est une discipline qui est petit à petit abandonnée dans l'enseignement général actuel!
Pourtant dans d'autres pays comme la Russie c'est une discipline qui a été enseignée à des élèves ordinaires et à un niveau particulièrement élevé comme l'illustre le tableau suivant du peintre russe Nikolaï Bogdanov-Belski (1868—1945), réalisé en 1895.
Il représente la classe d'arithmétique, pendant la résolution d'un problème. L'instituteur est un personnage connu, Sergueï Alexandrovitch Ratchinski (1833—1902), professeur à l'Université d'État de Moscou. Ratchinski est retourné dans son village natal pour y créer une école populaire. Il y a enseigné le calcul mental selon une méthode personnelle.
Bogdanov-Belski a été lui-même un élève de Ratchinski, il en a visiblement gardé un souvenir marquant.
On y ressent l'extrême concentration des élèves tout comme la bienveillance de leur enseignant.
le problème à résoudre mentalement écrit au tableau parait très complexe: 10² + 11² + 12² + 13² + 14²
365
- Un calcul brut semble difficile à conduire de tête cependant si on connait bien les carrés supérieurs à 10 on peut remarquer que:
- 10²=100
- +11²=121
- +12²=144
- total=365
- puis que:
- 13²=169
- +14²=196
- total=365
- donc le numérateur c'est 2*365 et la solution 2
Une autre méthode en utilisant les identités remarquables
(a+b)² = a² + 2ab + b²
(a-b)² = a² - 2ab +b²
donc (a+b)²+(a-b)²=2(a²+b²)
et le fait que 10=12-2 et 14=12+2 comme 11=12-1 et 13=12+1
avec 12²=144 et donc 5*144=720
Le numérateur peut se comprendre comme:
10² + 11² + 12² + 13² + 14² = (12 - 2)² + (12 - 1)² + 12² + (12 + 1)² + (12 + 2)²
- donc on peut en déduire mentalement pour un calculateur même peu entrainé que les produits s'annulent deux à deux
- (12² - 2*12*2 +2²) + (12² - 2*12*1 + 1²) + 12² + (12² + 2*12*1 + 2²) + (12² + 2*12*2 + 1²)
- I I_______________________I I
- I________________________________ _______________________I
- et donc finalement en ne gardant que les carrés ce numérateur peut se décomposer mentalement comme
- (12² + 2²) + (12² + 1²) + 12² + (12² + 1²) + (12² + 2²) = (5*12²)+ (4 + 1 + 1 + 4) = 720 + 10 = 2*365
- Le résultat est donc "aussi tout simplement" 2
- Tous mes remerciements à François Lavallou qui m'a fait connaître ce tableau à l'occasion du salon des jeux mathématiques de 2017.
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