la quadrature d'une portion de cercle
Trouver avec les seuls outils que sont la règle et le compas une transformation du cercle en carré est le Graal de la géométrie: la quadrature du cercle.
Aujourd'hui on sait que ce n'est pas possible car il faudrait trouver une construction du nombre Pi or le nombre Pi est transcendantal ce qui signifie (en simplifiant) qu'il n'est pas exprimable avec une combinaison finie de nombres rationnels.
Pourtant il semble possible d'approcher la quadrature du cercle avec les dissections de lunules ou croissants de cercle en figures parfaitement carrés ou en forme de croix grecques.
De telles transformations planes de fragments circulaires en carrés sont connues et continuent de troubler les cerveaux des mathématiciens (en herbe). C'est donc avec une pointe de jubilation que je vous propose les dissections suivantes extraites du livre les « inattendus mathématiques » de Jean-Paul Delahaye et particulièrement détaillées dans le livre de Greg Frederickson « Plane and Fancy ». Ces figures sont le résultat de recherches par les immenses spécialistes des dissections comme; Lindgren ou Dudeney après les travaux de Loyd's.
Tout d'abord il faut partir d'une grille de carrés (par exemple des carrés de 2*2 Cm ) puis à partir de ce fond fixer une feuille rigide de plastique transparent et tracer des arcs de cercles définis ainsi :
Leur rayon commun passe par la diagonale d'un rectangle de 2*10 carreaux (soit racine de 104 Cm).
Les centres des trois arcs de cercles sont alignés sur une même droite au milieu de deux parallèles qui sont séparées par 20 carreaux (donc 40 cm).
Les centres des ces arcs de cercles sur la ligne centrale sont séparés d'un intervalle de 4 carreaux.
Après avoir tracé trois arcs de cercles successifs on obtient deux croissants de lune.
Pour le premier croissant de lune il existe une dissection en sept morceaux qui peut s'arranger en une croix grecque (la croix du pharmacien)
(Nota il faut retourner la plus grande pièce)
ou en huit morceaux pour le deuxième croissant pour arriver à un carré.
(Nota il faut retourner 3 pièces)
Une troisième transformation est obtenue avec un croissant constitué de deux demi-cercles de rayon 10 carreaux (donc 20cm et tangents aux deux droites parallèles) et dont les centres sont séparés de 5 carreaux sur la droite centrale. Leur dissection en 7 morceaux permet de construire une autre croix grecque.
(Nota il faut retourner 3 pièces)
Il existe une dissection à partir du même "patron" en carré en ajoutant deux coup de ciseaux supplémentaires selon les pointillés ce qui porte à dix le nombre de pièces, et qui donne ceci :
Problème comment ré assembler ces dix pièces en carré solution le trimestre prochain
Le tracé n'est pas trop difficile mais les coupes sont délicates et un excellent exercice pour s'entraîner à la scie à chantourner le moindre défaut se traduit par un jour entre les pièces et il faut une grande régularité surtout dans les arcs de cercle qui doivent présenter un rayon particulièrement constant (ce qui peut être réalisé avec un axe fixe de rotation).
Pour les pièces réalisées sur les photos ci-dessus le meilleur résultat a été obtenu avec un support peu épais (film rhodoïd). Les contours sont tracés avec un compas à pointes sèches et marquage des parties rectilignes à la pointe à tracer puis coupe au cutter en suivant les sillons faits avec les pointes. On peut ensuite colorier à volonté.
Il reste une question (intéressante et difficile):
Ces dissections (sauf la dernière) sont-elles minimales? C'est à dire construites avec le nombre minimal de morceaux.
Un seul contre-exemple prouverai le contraire.
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